鲁滨逊非标准分析中译版引言全文

    今年328日,鲁滨逊非标准分析中译版上传到无穷小微积分专业网站,并且正式发布,供全国广大读者下载学习。

      此举,对促进我国数学现代化的进程具有重大意义。

      但是,根据计数器的记录,上网下载该中译版的读者人数很少。怎么办?

      为此,我们特邀周忠涛工程师抄录该中译版引言的全文,放在本文附件中,供广大读者阅读。

      在此,我们向周忠涛工程师长久支持无穷小微积分的专业网站的工作表示感谢,同时,我们代表广大读者向周忠涛工程师表示真诚的谢意。

   

                                                                                             袁萌 陈启清

                                                                                           2021425


附件:鲁滨逊非标准分析中译版引言全文


第一章  引  言

1.1本书目的

   在称为分析的这个数学分支中,奠基的基本概念是极限概念。导数与积分,无限级数的和以及函数的连续性都是用极限来定义的。例如,令f(x)是定义在开区间(01)内的所有的x的一个实值函数,并且令x0是属于该区间的一个数。那么实数af(x)x0的导数,记作

    1.1.1 


如果下面式子成立的话:

    1.1.2                 

   假如我们问一个训练有素的数学家关于1.1.2的含义是什么,那么除了一些非本质差别和术语不同(如利用某些拓扑概念)外,他的解释将会是这样的:

   对任何正数,存在一个正数,能使(0,1)内的适合的一切x,都有


   现在我们再问是否我们的数学家不能接受关于1.1.11.1.2如下更直接的解释:

   对于f(x)的定义区间内的任何x,若dx=x-x0无限接近于0但不等于0,则比值无限接近于a,其中

    对于这个问题我们可以期望的回答是:这个定义在表现形式上或许是较简单的,但不幸的是它也没有意义。如果我们试图再解释说所谓两数相互无限接近是指它们的距离(它们的差的模)是无限地小,即小于任何正数,我们或许会遭到反驳,说这仅仅在两数相同时才有可能。并且我们会听到慷慨陈词,说这显然不是我们的本意,因为这种说法会使我们的解释产生不言而喻的错误。

   然而,不顾这种粉碎性的反驳,无限地小或无限小量的思想看来很自然地吸引我们的直观。无论如何,在微积分学的形成阶段无限小是被广泛运用的。正因为有上面引用的反对言论,说两个不同实数之间的距离不可能是无限地小,G.W.Leibniz才论证了无限小理论包含理想数的引入,它与实数比较可以是无限地小或无限地大,但它也具有和实数同样的性质。然而,Leibniz和他的弟子及后继者都没有能够给以一个合理的发展来导出这样一个系统。结果是无限小理论逐渐名声扫地而最终被经典的极限理论所取代。

   本书证明了Leibniz的思想能够全面维护,并且它对经典分析和许多其他数学分支开辟一条新奇和富饶的研究途径。我们方法的关键是对数学语言和数学结构之间的关系进行细致分析,这种方法是现代模型论的基础。

1.2内容概述

   本书计划如下。在第二章我们描述了来自数理逻辑的形式工具,它是为后来的叙述所需要的。我们的讨论涉及到一阶和高阶理论并包括有限性原理(紧致性定理)的一个证明。这个原理对我们的研究是十分重要的。

   在第三章我们阐述了作为非标准算术和非标准分析框架的数学结构的基本性质,证明这些结构为无限小理论提供了一个合适的基础,并运用这个理论展开了微积分学初步。接着我们引入一阶和髙阶微分并应用于经典微分几何中的某些简单问题。诚然,这些微分是无限小,如同在欧洲大陆出版的微积分早期课本(如I'Hospital的《无限小分析》)中所朴素地采用过的那样。因而在剔除了某些明显的并常常受到攻击的不协调性之后,这些课本中所运用的方法就能建立在坚实的基础上。

   在第四章我们证明无限小理论具有一个推广形式,它可应用于(非度量的)拓扑空间。在这个理论中我们重建拓扑学的各种基本概念。特别是得到了紧致空间的一个引人注意的特征,它有一些应用。

   第五章讨论实变函数,用非标准分析的术语定义了Lebesgue测度,并在此框架中证明了一些标准分析的定理。接着讨论了Schwartz分布论。按我们的途径对这些广义函数给出一个具体的实现,特別是对分布的局部值概念的讨论提供了有效的方法。

   在第六章中,我们论述复变函数的非标准理论。详细讨论的应用领域有:()多项式的解析理论,讨论复区域内多项式零点的位置。()整函数奇点的理论,包括Picard定理和Julia方向。然而,更有意义的是我们的理论以一种很自然的方式给出某些广义函数代替了正规族理论。

   第七章探讨线性赋范空间论,在几个方向上论述了紧致算子的非标准理论。特别是证明了Hilbert空间中有紧致平方的线性算子具有一个非平凡的不变子空间。值得指出的是这里给出的分折是这一结果的首次证明,它解决了由K.T.SmithP.R.Halmos提出的一个问题(见BernsteinRo-binson[1966])。这一理论在讨论谱分析方面也有应用。

   在第八章中,我们考察拓扑群,特别是Lie群。在我们的理论中,一个群的单位元的无限小邻域是实际存在的并且组成一个群。对于给定的拓扑群或Lie群而言这个群体现了无限小群的直观概念。它可以和这一理论的标准槪念联系起来。

   第九章包括在非标准分析的框架内将变分原理应用于若干数学问题。特别是我们修改了Riemann映象定理的经典证明以及位势理论中的Dirichlct积分方法。接着我们考察流体动力学中的若干课题。凭借无限小解释了边界层理论的基本概念。我们还给出弹性理论中的de Saint-Venant原理的另一种表达形式。最后,对于de Saint-Venant原理本身也在非标准分析的框架内作了合理的解释。

   最后一章对微积分学历史中与无限小理论有关的若干阶段作了评述。由于在这一领域中的近代作者们认为无限小理论是不能有效地建立起来的,这就影响到他们对历史的评价。因此,有必要纠正这种见解。

   人们自然会问:一个非标准方法(这里所说的非标准一词有专门的含义,也就是说,一个非标准分析的方法)是否总能被一个标准的数学证明所代替。这样提问题的人是把数理逻辑方法看作是在普通数学方法之外的,而为了我们现在的目的我们可以同意这样的区分在实践中是有意义的。对这个问题的回答是:在每个具体情况下用超幂的方法将一个非标准的证明翻译为一个标准的数学证明是可以的。然而,这样做往往会使证明变得复杂得多,因此从启发式(heuristic)观点看这种转换也是不足取的。另外也可能独立地得到一个较短的数学证明。

   在最近一百五十年中无限小理论的发展几乎是停滞不前的,而同一时期中在经典的方法上却投入了大量的努力与智慧。然而我们相信本书已说明了这样一点:虽然经典方法已经到了成熟时期,但不论是在对旧理论赋予新看法方面还是在探索新结果方面,非标准方法仍能有效地补充标准方法。我们希望在本书已涉及或未涉及的各分支的专家们,将考虑如何运用非标准方法到他们的研究领域中去,他们将会发现有时若不经过一番努力,—个经典理论恰当的非标准解释是不易得到的。但一旦得到了,对理论的重建和发展就可能是一番有收获的体验。

   人们可以期望现代物理的某些分支,特别是令人头痛的发散问题,可能从非标准分析中得到益处。虽然本书只包含了将非标准方法应用于经典的应用数学,但这件事只是说明作者的局限而不是方法的局限。

                           

发表新评论